bcftools/kfunc.c

   1 #include <math.h>
   2
   3
   4 /* Log gamma function
   5  * \log{\Gamma(z)}
   6  * AS245, 2nd algorithm, http://lib.stat.cmu.edu/apstat/245
   7  */
   8 double kf_lgamma(double z)
   9 {
  10         double x = 0;
  11         x += 0.1659470187408462e-06 / (z+7);
  12         x += 0.9934937113930748e-05 / (z+6);
  13         x -= 0.1385710331296526     / (z+5);
  14         x += 12.50734324009056      / (z+4);
  15         x -= 176.6150291498386      / (z+3);
  16         x += 771.3234287757674      / (z+2);
  17         x -= 1259.139216722289      / (z+1);
  18         x += 676.5203681218835      / z;
  19         x += 0.9999999999995183;
  20         return log(x) - 5.58106146679532777 - z + (z-0.5) * log(z+6.5);
  21 }
  22
  23 /* complementary error function
  24  * \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} dt
  25  * AS66, 2nd algorithm, http://lib.stat.cmu.edu/apstat/66
  26  */
  27 double kf_erfc(double x)
  28 {
  29         const double p0 = 220.2068679123761;
  30         const double p1 = 221.2135961699311;
  31         const double p2 = 112.0792914978709;
  32         const double p3 = 33.912866078383;
  33         const double p4 = 6.37396220353165;
  34         const double p5 = .7003830644436881;
  35         const double p6 = .03526249659989109;
  36         const double q0 = 440.4137358247522;
  37         const double q1 = 793.8265125199484;
  38         const double q2 = 637.3336333788311;
  39         const double q3 = 296.5642487796737;
  40         const double q4 = 86.78073220294608;
  41         const double q5 = 16.06417757920695;
  42         const double q6 = 1.755667163182642;
  43         const double q7 = .08838834764831844;
  44         double expntl, z, p;
  45         z = fabs(x) * M_SQRT2;
  46         if (z > 37.) return x > 0.? 0. : 2.;
  47         expntl = exp(z * z * - .5);
  48         if (z < 10. / M_SQRT2) // for small z
  49             p = expntl * ((((((p6 * z + p5) * z + p4) * z + p3) * z + p2) * z + p1) * z + p0)
  50                         / (((((((q7 * z + q6) * z + q5) * z + q4) * z + q3) * z + q2) * z + q1) * z + q0);
  51         else p = expntl / 2.506628274631001 / (z + 1. / (z + 2. / (z + 3. / (z + 4. / (z + .65)))));
  52         return x > 0.? 2. * p : 2. * (1. - p);
  53 }
  54
  55 /* The following computes regularized incomplete gamma functions.
  56  * Formulas are taken from Wiki, with additional input from Numerical
  57  * Recipes in C (for modified Lentz's algorithm) and AS245
  58  * (http://lib.stat.cmu.edu/apstat/245).
  59  *
  60  * A good online calculator is available at:
  61  *
  62  *   http://www.danielsoper.com/statcalc/calc23.aspx
  63  *
  64  * It calculates upper incomplete gamma function, which equals
  65  * kf_gammaq(s,z)*tgamma(s).
  66  */
  67
  68 #define KF_GAMMA_EPS 1e-14
  69 #define KF_TINY 1e-290
  70
  71 // regularized lower incomplete gamma function, by series expansion
  72 static double _kf_gammap(double s, double z)
  73 {
  74         double sum, x;
  75         int k;
  76         for (k = 1, sum = x = 1.; k < 100; ++k) {
  77                 sum += (x *= z / (s + k));
  78                 if (x / sum < KF_GAMMA_EPS) break;
  79         }
  80         return exp(s * log(z) - z - kf_lgamma(s + 1.) + log(sum));
  81 }
  82 // regularized upper incomplete gamma function, by continued fraction
  83 static double _kf_gammaq(double s, double z)
  84 {
  85         int j;
  86         double C, D, f;
  87         f = 1. + z - s; C = f; D = 0.;
  88         // Modified Lentz's algorithm for computing continued fraction
  89         // See Numerical Recipes in C, 2nd edition, section 5.2
  90         for (j = 1; j < 100; ++j) {
  91                 double a = j * (s - j), b = (j<<1) + 1 + z - s, d;
  92                 D = b + a * D;
  93                 if (D < KF_TINY) D = KF_TINY;
  94                 C = b + a / C;
  95                 if (C < KF_TINY) C = KF_TINY;
  96                 D = 1. / D;
  97                 d = C * D;
  98                 f *= d;
  99                 if (fabs(d - 1.) < KF_GAMMA_EPS) break;
 100         }
 101         return exp(s * log(z) - z - kf_lgamma(s) - log(f));
 102 }
 103
 104 double kf_gammap(double s, double z)
 105 {
 106         return z <= 1. || z < s? _kf_gammap(s, z) : 1. - _kf_gammaq(s, z);
 107 }
 108
 109 double kf_gammaq(double s, double z)
 110 {
 111         return z <= 1. || z < s? 1. - _kf_gammap(s, z) : _kf_gammaq(s, z);
 112 }
 113
 114 /* Regularized incomplete beta function. The method is taken from
 115  * Numerical Recipe in C, 2nd edition, section 6.4. The following web
 116  * page calculates the incomplete beta function, which equals
 117  * kf_betai(a,b,x) * gamma(a) * gamma(b) / gamma(a+b):
 118  *
 119  *   http://www.danielsoper.com/statcalc/calc36.aspx
 120  */
 121 static double kf_betai_aux(double a, double b, double x)
 122 {
 123         double C, D, f;
 124         int j;
 125         if (x == 0.) return 0.;
 126         if (x == 1.) return 1.;
 127         f = 1.; C = f; D = 0.;
 128         // Modified Lentz's algorithm for computing continued fraction
 129         for (j = 1; j < 200; ++j) {
 130                 double aa, d;
 131                 int m = j>>1;
 132                 aa = (j&1)? -(a + m) * (a + b + m) * x / ((a + 2*m) * (a + 2*m + 1))
 133                         : m * (b - m) * x / ((a + 2*m - 1) * (a + 2*m));
 134                 D = 1. + aa * D;
 135                 if (D < KF_TINY) D = KF_TINY;
 136                 C = 1. + aa / C;
 137                 if (C < KF_TINY) C = KF_TINY;
 138                 D = 1. / D;
 139                 d = C * D;
 140                 f *= d;
 141                 if (fabs(d - 1.) < KF_GAMMA_EPS) break;
 142         }
 143         return exp(kf_lgamma(a+b) - kf_lgamma(a) - kf_lgamma(b) + a * log(x) + b * log(1.-x)) / a / f;
 144 }
 145 double kf_betai(double a, double b, double x)
 146 {
 147         return x < (a + 1.) / (a + b + 2.)? kf_betai_aux(a, b, x) : 1. - kf_betai_aux(b, a, 1. - x);
 148 }
 149
 150 #ifdef KF_MAIN
 151 #include <stdio.h>
 152 int main(int argc, char *argv[])
 153 {
 154         double x = 5.5, y = 3;
 155         double a, b;
 156         printf("erfc(%lg): %lg, %lg\n", x, erfc(x), kf_erfc(x));
 157         printf("upper-gamma(%lg,%lg): %lg\n", x, y, kf_gammaq(y, x)*tgamma(y));
 158         a = 2; b = 2; x = 0.5;
 159         printf("incomplete-beta(%lg,%lg,%lg): %lg\n", a, b, x, kf_betai(a, b, x) / exp(kf_lgamma(a+b) - kf_lgamma(a) - kf_lgamma(b)));
 160         return 0;
 161 }
 162 #endif