htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/dht.texi

   1 @cindex discrete Hankel transforms
   2 @cindex Hankel transforms, discrete
   3 @cindex transforms, Hankel
   4 This chapter describes functions for performing Discrete Hankel
   5 Transforms (DHTs).  The functions are declared in the header file
   6 @file{gsl_dht.h}.
   7
   8 @menu
   9 * Discrete Hankel Transform Definition::
  10 * Discrete Hankel Transform Functions::
  11 * Discrete Hankel Transform References::
  12 @end menu
  13
  14 @node Discrete Hankel Transform Definition
  15 @section Definitions
  16
  17 The discrete Hankel transform acts on a vector of sampled data, where
  18 the samples are assumed to have been taken at points related to the
  19 zeroes of a Bessel function of fixed order; compare this to the case of
  20 the discrete Fourier transform, where samples are taken at points
  21 related to the zeroes of the sine or cosine function.
  22
  23 Specifically, let @math{f(t)} be a function on the unit interval.
  24 Then the finite @math{\nu}-Hankel transform of @math{f(t)} is defined
  25 to be the set of numbers @math{g_m} given by,
  26 @tex
  27 \beforedisplay
  28 $$
  29 g_m = \int_0^1 t dt\, J_\nu(j_{\nu,m}t) f(t),
  30 $$
  31 \afterdisplay
  32 @end tex
  33 @ifinfo
  34 @example
  35 g_m = \int_0^1 t dt J_\nu(j_(\nu,m)t) f(t),
  36 @end example
  37
  38 @end ifinfo
  39 @noindent
  40 so that,
  41 @tex
  42 \beforedisplay
  43 $$
  44 f(t) = \sum_{m=1}^\infty {{2 J_\nu(j_{\nu,m}x)}\over{J_{\nu+1}(j_{\nu,m})^2}} g_m.
  45 $$
  46 \afterdisplay
  47 @end tex
  48 @ifinfo
  49 @example
  50 f(t) = \sum_@{m=1@}^\infty (2 J_\nu(j_(\nu,m)x) / J_(\nu+1)(j_(\nu,m))^2) g_m.
  51 @end example
  52
  53 @end ifinfo
  54 @noindent
  55 Suppose that @math{f} is band-limited in the sense that
  56 @math{g_m=0} for @math{m > M}. Then we have the following
  57 fundamental sampling theorem.
  58 @tex
  59 \beforedisplay
  60 $$
  61 g_m = {{2}\over{j_{\nu,M}^2}}
  62       \sum_{k=1}^{M-1} f\left({{j_{\nu,k}}\over{j_{\nu,M}}}\right)
  63           {{J_\nu(j_{\nu,m} j_{\nu,k} / j_{\nu,M})}\over{J_{\nu+1}(j_{\nu,k})^2}}.
  64 $$
  65 \afterdisplay
  66 @end tex
  67 @ifinfo
  68 @example
  69 g_m = (2 / j_(\nu,M)^2)
  70       \sum_@{k=1@}^@{M-1@} f(j_(\nu,k)/j_(\nu,M))
  71           (J_\nu(j_(\nu,m) j_(\nu,k) / j_(\nu,M)) / J_(\nu+1)(j_(\nu,k))^2).
  72 @end example
  73
  74 @end ifinfo
  75 @noindent
  76 It is this discrete expression which defines the discrete Hankel
  77 transform. The kernel in the summation above defines the matrix of the
  78 @math{\nu}-Hankel transform of size @math{M-1}.  The coefficients of
  79 this matrix, being dependent on @math{\nu} and @math{M}, must be
  80 precomputed and stored; the @code{gsl_dht} object encapsulates this
  81 data.  The allocation function @code{gsl_dht_alloc} returns a
  82 @code{gsl_dht} object which must be properly initialized with
  83 @code{gsl_dht_init} before it can be used to perform transforms on data
  84 sample vectors, for fixed @math{\nu} and @math{M}, using the
  85 @code{gsl_dht_apply} function. The implementation allows a scaling of
  86 the fundamental interval, for convenience, so that one can assume the
  87 function is defined on the interval @math{[0,X]}, rather than the unit
  88 interval.
  89
  90 Notice that by assumption @math{f(t)} vanishes at the endpoints
  91 of the interval, consistent with the inversion formula
  92 and the sampling formula given above. Therefore, this transform
  93 corresponds to an orthogonal expansion in eigenfunctions
  94 of the Dirichlet problem for the Bessel differential equation.
  95
  96
  97 @node Discrete Hankel Transform Functions
  98 @section Functions
  99
 100 @deftypefun {gsl_dht *} gsl_dht_alloc (size_t @var{size})
 101 This function allocates a Discrete Hankel transform object of size
 102 @var{size}.
 103 @end deftypefun
 104
 105 @deftypefun int gsl_dht_init (gsl_dht * @var{t}, double @var{nu}, double @var{xmax})
 106 This function initializes the transform @var{t} for the given values of
 107 @var{nu} and @var{x}.
 108 @end deftypefun
 109
 110 @deftypefun {gsl_dht *} gsl_dht_new (size_t @var{size}, double @var{nu}, double @var{xmax})
 111 This function allocates a Discrete Hankel transform object of size
 112 @var{size} and initializes it for the given values of @var{nu} and
 113 @var{x}.
 114 @end deftypefun
 115
 116 @deftypefun void gsl_dht_free (gsl_dht * @var{t})
 117 This function frees the transform @var{t}.
 118 @end deftypefun
 119
 120 @deftypefun int gsl_dht_apply (const gsl_dht * @var{t}, double * @var{f_in}, double * @var{f_out})
 121 This function applies the transform @var{t} to the array @var{f_in}
 122 whose size is equal to the size of the transform.  The result is stored
 123 in the array @var{f_out} which must be of the same length.
 124 @end deftypefun
 125
 126 @deftypefun double gsl_dht_x_sample (const gsl_dht * @var{t}, int @var{n})
 127 This function returns the value of the @var{n}-th sample point in the unit interval,
 128 @c{${({j_{\nu,n+1}} / {j_{\nu,M}}}) X$}
 129 @math{(j_@{\nu,n+1@}/j_@{\nu,M@}) X}. These are the
 130 points where the function @math{f(t)} is assumed to be sampled.
 131 @end deftypefun
 132
 133 @deftypefun double gsl_dht_k_sample (const gsl_dht * @var{t}, int @var{n})
 134 This function returns the value of the @var{n}-th sample point in ``k-space'',
 135 @c{${{j_{\nu,n+1}} / X}$}
 136 @math{j_@{\nu,n+1@}/X}.
 137 @end deftypefun
 138
 139 @node Discrete Hankel Transform References
 140 @section References and Further Reading
 141
 142 The algorithms used by these functions are described in the following papers,
 143
 144 @itemize @asis
 145 @item
 146 H. Fisk Johnson, Comp.@: Phys.@: Comm.@: 43, 181 (1987).
 147 @end itemize
 148
 149 @itemize @asis
 150 @item
 151 D. Lemoine, J. Chem.@: Phys.@: 101, 3936 (1994).
 152 @end itemize