htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/diff.texi

   1 @cindex differentiation of functions, numeric
   2 @cindex functions, numerical differentiation
   3 @cindex derivatives, calculating numerically
   4 @cindex numerical derivatives
   5 @cindex slope, see numerical derivative
   6
   7 The functions described in this chapter compute numerical derivatives by
   8 finite differencing.  An adaptive algorithm is used to find the best
   9 choice of finite difference and to estimate the error in the derivative.
  10 These functions are declared in the header file @file{gsl_deriv.h}.
  11
  12 @menu
  13 * Numerical Differentiation functions::
  14 * Numerical Differentiation Examples::
  15 * Numerical Differentiation References::
  16 @end menu
  17
  18 @node Numerical Differentiation functions
  19 @section Functions
  20
  21 @deftypefun int gsl_deriv_central (const gsl_function * @var{f}, double @var{x}, double @var{h}, double * @var{result}, double * @var{abserr})
  22 This function computes the numerical derivative of the function @var{f}
  23 at the point @var{x} using an adaptive central difference algorithm with
  24 a step-size of @var{h}.   The derivative is returned in @var{result} and an
  25 estimate of its absolute error is returned in @var{abserr}.
  26
  27 The initial value of @var{h} is used to estimate an optimal step-size,
  28 based on the scaling of the truncation error and round-off error in the
  29 derivative calculation.  The derivative is computed using a 5-point rule
  30 for equally spaced abscissae at @math{x-h}, @math{x-h/2}, @math{x},
  31 @math{x+h/2}, @math{x+h}, with an error estimate taken from the difference
  32 between the 5-point rule and the corresponding 3-point rule @math{x-h},
  33 @math{x}, @math{x+h}.  Note that the value of the function at @math{x}
  34 does not contribute to the derivative calculation, so only 4-points are
  35 actually used.
  36 @end deftypefun
  37
  38 @deftypefun int gsl_deriv_forward (const gsl_function * @var{f}, double @var{x}, double @var{h}, double * @var{result}, double * @var{abserr})
  39 This function computes the numerical derivative of the function @var{f}
  40 at the point @var{x} using an adaptive forward difference algorithm with
  41 a step-size of @var{h}. The function is evaluated only at points greater
  42 than @var{x}, and never at @var{x} itself.  The derivative is returned in
  43 @var{result} and an estimate of its absolute error is returned in
  44 @var{abserr}.  This function should be used if @math{f(x)} has a
  45 discontinuity at @var{x}, or is undefined for values less than @var{x}.
  46
  47 The initial value of @var{h} is used to estimate an optimal step-size,
  48 based on the scaling of the truncation error and round-off error in the
  49 derivative calculation.  The derivative at @math{x} is computed using an
  50 ``open'' 4-point rule for equally spaced abscissae at @math{x+h/4},
  51 @math{x+h/2}, @math{x+3h/4}, @math{x+h}, with an error estimate taken
  52 from the difference between the 4-point rule and the corresponding
  53 2-point rule @math{x+h/2}, @math{x+h}.
  54 @end deftypefun
  55
  56 @deftypefun int gsl_deriv_backward (const gsl_function * @var{f}, double @var{x},  double @var{h}, double * @var{result}, double * @var{abserr})
  57 This function computes the numerical derivative of the function @var{f}
  58 at the point @var{x} using an adaptive backward difference algorithm
  59 with a step-size of @var{h}. The function is evaluated only at points
  60 less than @var{x}, and never at @var{x} itself.  The derivative is
  61 returned in @var{result} and an estimate of its absolute error is
  62 returned in @var{abserr}.  This function should be used if @math{f(x)}
  63 has a discontinuity at @var{x}, or is undefined for values greater than
  64 @var{x}.
  65
  66 This function is equivalent to calling @code{gsl_deriv_forward} with a
  67 negative step-size.
  68 @end deftypefun
  69
  70 @node Numerical Differentiation Examples
  71 @section Examples
  72
  73 The following code estimates the derivative of the function
  74 @c{$f(x) = x^{3/2}$}
  75 @math{f(x) = x^@{3/2@}}
  76 at @math{x=2} and at @math{x=0}.  The function @math{f(x)} is
  77 undefined for @math{x<0} so the derivative at @math{x=0} is computed
  78 using @code{gsl_deriv_forward}.
  79
  80 @example
  81 @verbatiminclude examples/diff.c
  82 @end example
  83
  84 @noindent
  85 Here is the output of the program,
  86
  87 @example
  88 $ ./a.out
  89 @verbatiminclude examples/diff.out
  90 @end example
  91
  92 @node Numerical Differentiation References
  93 @section References and Further Reading
  94
  95 The algorithms used by these functions are described in the following sources:
  96
  97 @itemize @asis
  98 @item
  99 Abramowitz and Stegun, @cite{Handbook of Mathematical Functions},
 100 Section 25.3.4, and Table 25.5 (Coefficients for Differentiation).
 101
 102 @item
 103 S.D. Conte and Carl de Boor, @cite{Elementary Numerical Analysis: An
 104 Algorithmic Approach}, McGraw-Hill, 1972.
 105 @end itemize