htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/specfunc-bessel.texi

   1 @cindex Bessel functions
   2
   3 The routines described in this section compute the Cylindrical Bessel
   4 functions @math{J_n(x)}, @math{Y_n(x)}, Modified cylindrical Bessel
   5 functions @math{I_n(x)}, @math{K_n(x)}, Spherical Bessel functions
   6 @math{j_l(x)}, @math{y_l(x)}, and Modified Spherical Bessel functions
   7 @math{i_l(x)}, @math{k_l(x)}.  For more information see Abramowitz & Stegun,
   8 Chapters 9 and 10.  The Bessel functions are defined in the header file
   9 @file{gsl_sf_bessel.h}.
  10
  11 @menu
  12 * Regular Cylindrical Bessel Functions::
  13 * Irregular Cylindrical Bessel Functions::
  14 * Regular Modified Cylindrical Bessel Functions::
  15 * Irregular Modified Cylindrical Bessel Functions::
  16 * Regular Spherical Bessel Functions::
  17 * Irregular Spherical Bessel Functions::
  18 * Regular Modified Spherical Bessel Functions::
  19 * Irregular Modified Spherical Bessel Functions::
  20 * Regular Bessel Function - Fractional Order::
  21 * Irregular Bessel Functions - Fractional Order::
  22 * Regular Modified Bessel Functions - Fractional Order::
  23 * Irregular Modified Bessel Functions - Fractional Order::
  24 * Zeros of Regular Bessel Functions::
  25 @end menu
  26
  27 @node Regular Cylindrical Bessel Functions
  28 @subsection Regular Cylindrical Bessel Functions
  29 @cindex Cylindrical Bessel Functions
  30 @cindex Regular Cylindrical Bessel Functions
  31
  32 @deftypefun double gsl_sf_bessel_J0 (double @var{x})
  33 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_J0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  34 These routines compute the regular cylindrical Bessel function of zeroth
  35 order, @math{J_0(x)}.
  36 @comment Exceptional Return Values: none
  37 @end deftypefun
  38
  39 @deftypefun double gsl_sf_bessel_J1 (double @var{x})
  40 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_J1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  41 These routines compute the regular cylindrical Bessel function of first
  42 order, @math{J_1(x)}.
  43 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
  44 @end deftypefun
  45
  46 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Jn (int @var{n}, double @var{x})
  47 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Jn_e (int @var{n}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  48 These routines compute the regular cylindrical Bessel function of
  49 order @var{n}, @math{J_n(x)}.
  50 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
  51 @end deftypefun
  52
  53 @deftypefun int gsl_sf_bessel_Jn_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
  54 This routine computes the values of the regular cylindrical Bessel
  55 functions @math{J_n(x)} for @math{n} from @var{nmin} to @var{nmax}
  56 inclusive, storing the results in the array @var{result_array}.  The
  57 values are computed using recurrence relations for efficiency, and
  58 therefore may differ slightly from the exact values.
  59 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
  60 @end deftypefun
  61
  62
  63 @node Irregular Cylindrical Bessel Functions
  64 @subsection Irregular Cylindrical Bessel Functions
  65 @cindex Irregular Cylindrical Bessel Functions
  66
  67 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Y0 (double @var{x})
  68 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Y0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  69 These routines compute the irregular cylindrical Bessel function of zeroth
  70 order, @math{Y_0(x)}, for @math{x>0}.
  71 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
  72 @end deftypefun
  73
  74 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Y1 (double @var{x})
  75 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Y1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  76 These routines compute the irregular cylindrical Bessel function of first
  77 order, @math{Y_1(x)}, for @math{x>0}.
  78 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
  79 @end deftypefun
  80
  81 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Yn (int @var{n},double @var{x})
  82 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Yn_e (int @var{n},double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
  83 These routines compute the irregular cylindrical Bessel function of
  84 order @var{n}, @math{Y_n(x)}, for @math{x>0}.
  85 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
  86 @end deftypefun
  87
  88 @deftypefun int gsl_sf_bessel_Yn_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
  89 This routine computes the values of the irregular cylindrical Bessel
  90 functions @math{Y_n(x)} for @math{n} from @var{nmin} to @var{nmax}
  91 inclusive, storing the results in the array @var{result_array}.  The
  92 domain of the function is @math{x>0}.  The values are computed using
  93 recurrence relations for efficiency, and therefore may differ slightly
  94 from the exact values.
  95 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
  96 @end deftypefun
  97
  98
  99 @node Regular Modified Cylindrical Bessel Functions
 100 @subsection Regular Modified Cylindrical Bessel Functions
 101 @cindex Modified Cylindrical Bessel Functions
 102 @cindex Regular Modified Cylindrical Bessel Functions
 103
 104 @deftypefun double gsl_sf_bessel_I0 (double @var{x})
 105 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_I0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 106 These routines compute the regular modified cylindrical Bessel function
 107 of zeroth order, @math{I_0(x)}.
 108 @comment Exceptional Return Values: GSL_EOVRFLW
 109 @end deftypefun
 110
 111 @deftypefun double gsl_sf_bessel_I1 (double @var{x})
 112 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_I1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 113 These routines compute the regular modified cylindrical Bessel function
 114 of first order, @math{I_1(x)}.
 115 @comment Exceptional Return Values: GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 116 @end deftypefun
 117
 118 @deftypefun double gsl_sf_bessel_In (int @var{n}, double @var{x})
 119 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_In_e (int @var{n}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 120 These routines compute the regular modified cylindrical Bessel function
 121 of order @var{n}, @math{I_n(x)}.
 122 @comment Exceptional Return Values: GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 123 @end deftypefun
 124
 125 @deftypefun int gsl_sf_bessel_In_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 126 This routine computes the values of the regular modified cylindrical
 127 Bessel functions @math{I_n(x)} for @math{n} from @var{nmin} to
 128 @var{nmax} inclusive, storing the results in the array
 129 @var{result_array}.  The start of the range @var{nmin} must be positive
 130 or zero.  The values are computed using recurrence relations for
 131 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 132 @comment Domain: nmin >=0, nmax >= nmin
 133 @comment Conditions: n=nmin,...,nmax, nmin >=0, nmax >= nmin
 134 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 135 @end deftypefun
 136
 137 @deftypefun double gsl_sf_bessel_I0_scaled (double @var{x})
 138 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_I0_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 139 These routines compute the scaled regular modified cylindrical Bessel
 140 function of zeroth order @math{\exp(-|x|) I_0(x)}.
 141 @comment Exceptional Return Values: none
 142 @end deftypefun
 143
 144 @deftypefun double gsl_sf_bessel_I1_scaled (double @var{x})
 145 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_I1_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 146 These routines compute the scaled regular modified cylindrical Bessel
 147 function of first order @math{\exp(-|x|) I_1(x)}.
 148 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 149 @end deftypefun
 150
 151 @deftypefun double gsl_sf_bessel_In_scaled (int @var{n}, double @var{x})
 152 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_In_scaled_e (int @var{n}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 153 These routines compute the scaled regular modified cylindrical Bessel
 154 function of order @var{n}, @math{\exp(-|x|) I_n(x)}
 155 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 156 @end deftypefun
 157
 158 @deftypefun int gsl_sf_bessel_In_scaled_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 159 This routine computes the values of the scaled regular cylindrical
 160 Bessel functions @math{\exp(-|x|) I_n(x)} for @math{n} from
 161 @var{nmin} to @var{nmax} inclusive, storing the results in the array
 162 @var{result_array}. The start of the range @var{nmin} must be positive
 163 or zero.  The values are computed using recurrence relations for
 164 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 165 @comment Domain: nmin >=0, nmax >= nmin
 166 @comment Conditions:  n=nmin,...,nmax
 167 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 168 @end deftypefun
 169
 170
 171 @node Irregular Modified Cylindrical Bessel Functions
 172 @subsection Irregular Modified Cylindrical Bessel Functions
 173 @cindex Irregular Modified Cylindrical Bessel Functions
 174
 175 @deftypefun double gsl_sf_bessel_K0 (double @var{x})
 176 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_K0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 177 These routines compute the irregular modified cylindrical Bessel
 178 function of zeroth order, @math{K_0(x)}, for @math{x > 0}.
 179 @comment Domain: x > 0.0
 180 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 181 @end deftypefun
 182
 183 @deftypefun double gsl_sf_bessel_K1 (double @var{x})
 184 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_K1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 185 These routines compute the irregular modified cylindrical Bessel
 186 function of first order, @math{K_1(x)}, for @math{x > 0}.
 187 @comment Domain: x > 0.0
 188 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 189 @end deftypefun
 190
 191 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Kn (int @var{n}, double @var{x})
 192 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Kn_e (int @var{n}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 193 These routines compute the irregular modified cylindrical Bessel
 194 function of order @var{n}, @math{K_n(x)}, for @math{x > 0}.
 195 @comment Domain: x > 0.0
 196 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 197 @end deftypefun
 198
 199 @deftypefun int gsl_sf_bessel_Kn_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 200 This routine computes the values of the irregular modified cylindrical
 201 Bessel functions @math{K_n(x)} for @math{n} from @var{nmin} to
 202 @var{nmax} inclusive, storing the results in the array
 203 @var{result_array}. The start of the range @var{nmin} must be positive
 204 or zero. The domain of the function is @math{x>0}. The values are
 205 computed using recurrence relations for efficiency, and therefore
 206 may differ slightly from the exact values.
 207 @comment Conditions: n=nmin,...,nmax
 208 @comment Domain: x > 0.0, nmin>=0, nmax >= nmin
 209 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW, GSL_EUNDRFLW
 210 @end deftypefun
 211
 212 @deftypefun double gsl_sf_bessel_K0_scaled (double @var{x})
 213 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_K0_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 214 These routines compute the scaled irregular modified cylindrical Bessel
 215 function of zeroth order @math{\exp(x) K_0(x)} for @math{x>0}.
 216 @comment Domain: x > 0.0
 217 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 218 @end deftypefun
 219
 220 @deftypefun double gsl_sf_bessel_K1_scaled (double @var{x})
 221 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_K1_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 222 These routines compute the scaled irregular modified cylindrical Bessel
 223 function of first order @math{\exp(x) K_1(x)} for @math{x>0}.
 224 @comment Domain: x > 0.0
 225 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 226 @end deftypefun
 227
 228 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Kn_scaled (int @var{n}, double @var{x})
 229 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Kn_scaled_e (int @var{n}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 230 These routines compute the scaled irregular modified cylindrical Bessel
 231 function of order @var{n}, @math{\exp(x) K_n(x)}, for @math{x>0}.
 232 @comment Domain: x > 0.0
 233 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 234 @end deftypefun
 235
 236 @deftypefun int gsl_sf_bessel_Kn_scaled_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 237 This routine computes the values of the scaled irregular cylindrical
 238 Bessel functions @math{\exp(x) K_n(x)} for @math{n} from @var{nmin} to
 239 @var{nmax} inclusive, storing the results in the array
 240 @var{result_array}. The start of the range @var{nmin} must be positive
 241 or zero.  The domain of the function is @math{x>0}. The values are
 242 computed using recurrence relations for efficiency, and therefore
 243 may differ slightly from the exact values.
 244 @comment Domain: x > 0.0, nmin >=0, nmax >= nmin
 245 @comment Conditions: n=nmin,...,nmax
 246 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 247 @end deftypefun
 248
 249
 250 @node Regular Spherical Bessel Functions
 251 @subsection Regular Spherical Bessel Functions
 252 @cindex Spherical Bessel Functions
 253 @cindex Regular Spherical Bessel Functions
 254
 255 @deftypefun double gsl_sf_bessel_j0 (double @var{x})
 256 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_j0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 257 These routines compute the regular spherical Bessel function of zeroth
 258 order, @math{j_0(x) = \sin(x)/x}.
 259 @comment Exceptional Return Values: none
 260 @end deftypefun
 261
 262 @deftypefun double gsl_sf_bessel_j1 (double @var{x})
 263 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_j1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 264 These routines compute the regular spherical Bessel function of first
 265 order, @math{j_1(x) = (\sin(x)/x - \cos(x))/x}.
 266 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 267 @end deftypefun
 268
 269 @deftypefun double gsl_sf_bessel_j2 (double @var{x})
 270 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_j2_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 271 These routines compute the regular spherical Bessel function of second
 272 order, @math{j_2(x) = ((3/x^2 - 1)\sin(x) - 3\cos(x)/x)/x}.
 273 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 274 @end deftypefun
 275
 276 @deftypefun double gsl_sf_bessel_jl (int @var{l}, double @var{x})
 277 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_jl_e (int @var{l}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 278 These routines compute the regular spherical Bessel function of
 279 order @var{l}, @math{j_l(x)}, for @c{$l \geq 0$}
 280 @math{l >= 0} and @c{$x \geq 0$}
 281 @math{x >= 0}.
 282 @comment Domain: l >= 0, x >= 0.0
 283 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 284 @end deftypefun
 285
 286 @deftypefun int gsl_sf_bessel_jl_array (int @var{lmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 287 This routine computes the values of the regular spherical Bessel
 288 functions @math{j_l(x)} for @math{l} from 0 to @var{lmax}
 289 inclusive  for @c{$lmax \geq 0$}
 290 @math{lmax >= 0} and @c{$x \geq 0$}
 291 @math{x >= 0}, storing the results in the array @var{result_array}.
 292 The values are computed using recurrence relations for
 293 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 294 @comment Domain: lmax >= 0
 295 @comment Conditions: l=0,1,...,lmax
 296 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 297 @end deftypefun
 298
 299 @deftypefun int gsl_sf_bessel_jl_steed_array (int @var{lmax}, double @var{x}, double * @var{jl_x_array})
 300 This routine uses Steed's method to compute the values of the regular
 301 spherical Bessel functions @math{j_l(x)} for @math{l} from 0 to
 302 @var{lmax} inclusive for @c{$lmax \geq 0$}
 303 @math{lmax >= 0} and @c{$x \geq 0$}
 304 @math{x >= 0}, storing the results in the array
 305 @var{result_array}.
 306 The Steed/Barnett algorithm is described in @cite{Comp. Phys. Comm.} 21,
 307 297 (1981).  Steed's method is more stable than the
 308 recurrence used in the other functions but is also slower.
 309 @comment Domain: lmax >= 0
 310 @comment Conditions: l=0,1,...,lmax
 311 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 312 @end deftypefun
 313
 314
 315 @node Irregular Spherical Bessel Functions
 316 @subsection Irregular Spherical Bessel Functions
 317 @cindex Irregular Spherical Bessel Functions
 318
 319 @deftypefun double gsl_sf_bessel_y0 (double @var{x})
 320 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_y0_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 321 These routines compute the irregular spherical Bessel function of zeroth
 322 order, @math{y_0(x) = -\cos(x)/x}.
 323 @comment Exceptional Return Values: none
 324 @end deftypefun
 325
 326 @deftypefun double gsl_sf_bessel_y1 (double @var{x})
 327 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_y1_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 328 These routines compute the irregular spherical Bessel function of first
 329 order, @math{y_1(x) = -(\cos(x)/x + \sin(x))/x}.
 330 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 331 @end deftypefun
 332
 333 @deftypefun double gsl_sf_bessel_y2 (double @var{x})
 334 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_y2_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 335 These routines compute the irregular spherical Bessel function of second
 336 order, @math{y_2(x) = (-3/x^3 + 1/x)\cos(x) - (3/x^2)\sin(x)}.
 337 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 338 @end deftypefun
 339
 340 @deftypefun double gsl_sf_bessel_yl (int @var{l}, double @var{x})
 341 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_yl_e (int @var{l}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 342 These routines compute the irregular spherical Bessel function of
 343 order @var{l}, @math{y_l(x)}, for @c{$l \geq 0$}
 344 @math{l >= 0}.
 345 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 346 @end deftypefun
 347
 348 @deftypefun int gsl_sf_bessel_yl_array (int @var{lmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 349 This routine computes the values of the irregular spherical Bessel
 350 functions @math{y_l(x)} for @math{l} from 0 to @var{lmax}
 351 inclusive  for @c{$lmax \geq 0$}
 352 @math{lmax >= 0}, storing the results in the array @var{result_array}.
 353 The values are computed using recurrence relations for
 354 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 355 @comment Domain: lmax >= 0
 356 @comment Conditions: l=0,1,...,lmax
 357 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 358 @end deftypefun
 359
 360
 361 @node Regular Modified Spherical Bessel Functions
 362 @subsection Regular Modified Spherical Bessel Functions
 363 @cindex Modified Spherical Bessel Functions
 364 @cindex Regular Modified Spherical Bessel Functions
 365
 366 The regular modified spherical Bessel functions @math{i_l(x)}
 367 are related to the modified Bessel functions of fractional order,
 368 @c{$i_l(x) = \sqrt{\pi/(2x)} I_{l+1/2}(x)$}
 369 @math{i_l(x) = \sqrt@{\pi/(2x)@} I_@{l+1/2@}(x)}
 370
 371 @deftypefun double gsl_sf_bessel_i0_scaled (double @var{x})
 372 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_i0_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 373 These routines compute the scaled regular modified spherical Bessel
 374 function of zeroth order, @math{\exp(-|x|) i_0(x)}.
 375 @comment Exceptional Return Values: none
 376 @end deftypefun
 377
 378 @deftypefun double gsl_sf_bessel_i1_scaled (double @var{x})
 379 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_i1_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 380 These routines compute the scaled regular modified spherical Bessel
 381 function of first order, @math{\exp(-|x|) i_1(x)}.
 382 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 383 @end deftypefun
 384
 385 @deftypefun double gsl_sf_bessel_i2_scaled (double @var{x})
 386 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_i2_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 387 These routines compute the scaled regular modified spherical Bessel
 388 function of second order, @math{ \exp(-|x|) i_2(x) }
 389 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 390 @end deftypefun
 391
 392 @deftypefun double gsl_sf_bessel_il_scaled (int @var{l}, double @var{x})
 393 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_il_scaled_e (int @var{l}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 394 These routines compute the scaled regular modified spherical Bessel
 395 function of order @var{l}, @math{ \exp(-|x|) i_l(x) }
 396 @comment Domain: l >= 0
 397 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 398 @end deftypefun
 399
 400 @deftypefun int gsl_sf_bessel_il_scaled_array (int @var{lmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 401 This routine computes the values of the scaled regular modified
 402 cylindrical Bessel functions @math{\exp(-|x|) i_l(x)} for @math{l} from
 403 0 to @var{lmax} inclusive for @c{$lmax \geq 0$}
 404 @math{lmax >= 0}, storing the results in
 405 the array @var{result_array}.
 406 The values are computed using recurrence relations for
 407 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 408 @comment Domain: lmax >= 0
 409 @comment Conditions: l=0,1,...,lmax
 410 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW
 411 @end deftypefun
 412
 413
 414 @node Irregular Modified Spherical Bessel Functions
 415 @subsection Irregular Modified Spherical Bessel Functions
 416 @cindex Irregular Modified Spherical Bessel Functions
 417
 418 The irregular modified spherical Bessel functions @math{k_l(x)}
 419 are related to the irregular modified Bessel functions of fractional order,
 420 @c{$k_l(x) = \sqrt{\pi/(2x)} K_{l+1/2}(x)$}
 421 @math{k_l(x) = \sqrt@{\pi/(2x)@} K_@{l+1/2@}(x)}.
 422
 423 @deftypefun double gsl_sf_bessel_k0_scaled (double @var{x})
 424 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_k0_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 425 These routines compute the scaled irregular modified spherical Bessel
 426 function of zeroth order, @math{\exp(x) k_0(x)}, for @math{x>0}.
 427 @comment Domain: x > 0.0
 428 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 429 @end deftypefun
 430
 431 @deftypefun double gsl_sf_bessel_k1_scaled (double @var{x})
 432 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_k1_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 433 These routines compute the scaled irregular modified spherical Bessel
 434 function of first order, @math{\exp(x) k_1(x)}, for @math{x>0}.
 435 @comment Domain: x > 0.0
 436 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW, GSL_EOVRFLW
 437 @end deftypefun
 438
 439 @deftypefun double gsl_sf_bessel_k2_scaled (double @var{x})
 440 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_k2_scaled_e (double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 441 These routines compute the scaled irregular modified spherical Bessel
 442 function of second order, @math{\exp(x) k_2(x)}, for @math{x>0}.
 443 @comment Domain: x > 0.0
 444 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW, GSL_EOVRFLW
 445 @end deftypefun
 446
 447 @deftypefun double gsl_sf_bessel_kl_scaled (int @var{l}, double @var{x})
 448 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_kl_scaled_e (int @var{l}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 449 These routines compute the scaled irregular modified spherical Bessel
 450 function of order @var{l}, @math{\exp(x) k_l(x)}, for @math{x>0}.
 451 @comment Domain: x > 0.0
 452 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 453 @end deftypefun
 454
 455 @deftypefun int gsl_sf_bessel_kl_scaled_array (int @var{lmax}, double @var{x}, double @var{result_array}[])
 456 This routine computes the values of the scaled irregular modified
 457 spherical Bessel functions @math{\exp(x) k_l(x)} for @math{l} from
 458 0 to @var{lmax} inclusive for @c{$lmax \geq 0$}
 459 @math{lmax >= 0} and @math{x>0}, storing the results in
 460 the array @var{result_array}.
 461 The values are computed using recurrence relations for
 462 efficiency, and therefore may differ slightly from the exact values.
 463 @comment Domain: lmax >= 0
 464 @comment Conditions: l=0,1,...,lmax
 465 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 466 @end deftypefun
 467
 468
 469 @node Regular Bessel Function - Fractional Order
 470 @subsection Regular Bessel Function---Fractional Order
 471 @cindex Fractional Order Bessel Functions
 472 @cindex Bessel Functions, Fractional Order
 473 @cindex Regular Bessel Functions, Fractional Order
 474
 475 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Jnu (double @var{nu}, double @var{x})
 476 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Jnu_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 477 These routines compute the regular cylindrical Bessel function of
 478 fractional order @math{\nu}, @math{J_\nu(x)}.
 479 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 480 @end deftypefun
 481
 482 @deftypefun int gsl_sf_bessel_sequence_Jnu_e (double @var{nu}, gsl_mode_t @var{mode}, size_t @var{size}, double @var{v}[])
 483 This function computes the regular cylindrical Bessel function of
 484 fractional order @math{\nu}, @math{J_\nu(x)}, evaluated at a series of
 485 @math{x} values.  The array @var{v} of length @var{size} contains the
 486 @math{x} values.  They are assumed to be strictly ordered and positive.
 487 The array is over-written with the values of @math{J_\nu(x_i)}.
 488 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EINVAL
 489 @end deftypefun
 490
 491
 492 @node Irregular Bessel Functions - Fractional Order
 493 @subsection Irregular Bessel Functions---Fractional Order
 494
 495 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Ynu (double @var{nu}, double @var{x})
 496 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Ynu_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 497 These routines compute the irregular cylindrical Bessel function of
 498 fractional order @math{\nu}, @math{Y_\nu(x)}.
 499 @comment Exceptional Return Values:
 500 @end deftypefun
 501
 502
 503 @node Regular Modified Bessel Functions - Fractional Order
 504 @subsection Regular Modified Bessel Functions---Fractional Order
 505 @cindex Modified Bessel Functions, Fractional Order
 506 @cindex Regular Modified Bessel Functions, Fractional Order
 507
 508 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Inu (double @var{nu}, double @var{x})
 509 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Inu_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 510 These routines compute the regular modified Bessel function of
 511 fractional order @math{\nu}, @math{I_\nu(x)} for @math{x>0},
 512 @math{\nu>0}.
 513 @comment Domain: x >= 0, nu >= 0
 514 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW
 515 @end deftypefun
 516
 517 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Inu_scaled (double @var{nu}, double @var{x})
 518 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Inu_scaled_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 519 These routines compute the scaled regular modified Bessel function of
 520 fractional order @math{\nu}, @math{\exp(-|x|)I_\nu(x)} for @math{x>0},
 521 @math{\nu>0}.
 522 @comment @math{ \exp(-|x|) I_@{\nu@}(x) }
 523 @comment Domain: x >= 0, nu >= 0
 524 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 525 @end deftypefun
 526
 527
 528 @node Irregular Modified Bessel Functions - Fractional Order
 529 @subsection Irregular Modified Bessel Functions---Fractional Order
 530 @cindex Irregular Modified Bessel Functions, Fractional Order
 531
 532 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Knu (double @var{nu}, double @var{x})
 533 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Knu_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 534 These routines compute the irregular modified Bessel function of
 535 fractional order @math{\nu}, @math{K_\nu(x)} for @math{x>0},
 536 @math{\nu>0}.
 537 @comment Domain: x > 0, nu >= 0
 538 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW
 539 @end deftypefun
 540
 541 @deftypefun double gsl_sf_bessel_lnKnu (double @var{nu}, double @var{x})
 542 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_lnKnu_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 543 These routines compute the logarithm of the irregular modified Bessel
 544 function of fractional order @math{\nu}, @math{\ln(K_\nu(x))} for
 545 @math{x>0}, @math{\nu>0}.
 546 @comment Domain: x > 0, nu >= 0
 547 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 548 @end deftypefun
 549
 550 @deftypefun double gsl_sf_bessel_Knu_scaled (double @var{nu}, double @var{x})
 551 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_Knu_scaled_e (double @var{nu}, double @var{x}, gsl_sf_result * @var{result})
 552 These routines compute the scaled irregular modified Bessel function of
 553 fractional order @math{\nu}, @math{\exp(+|x|) K_\nu(x)} for @math{x>0},
 554 @math{\nu>0}.
 555 @comment Domain: x > 0, nu >= 0
 556 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 557 @end deftypefun
 558
 559 @node Zeros of Regular Bessel Functions
 560 @subsection Zeros of Regular Bessel Functions
 561 @cindex Zeros of Regular Bessel Functions
 562 @cindex Regular Bessel Functions, Zeros of
 563
 564 @deftypefun double gsl_sf_bessel_zero_J0 (unsigned int @var{s})
 565 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_zero_J0_e (unsigned int @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
 566 These routines compute the location of the @var{s}-th positive zero of
 567 the Bessel function @math{J_0(x)}.
 568 @comment Exceptional Return Values:
 569 @end deftypefun
 570
 571 @deftypefun double gsl_sf_bessel_zero_J1 (unsigned int @var{s})
 572 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_zero_J1_e (unsigned int @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
 573 These routines compute the location of the @var{s}-th positive zero of
 574 the Bessel function @math{J_1(x)}.
 575 @comment Exceptional Return Values:
 576 @end deftypefun
 577
 578 @deftypefun double gsl_sf_bessel_zero_Jnu (double @var{nu}, unsigned int @var{s})
 579 @deftypefunx int gsl_sf_bessel_zero_Jnu_e (double @var{nu}, unsigned int @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
 580 These routines compute the location of the @var{s}-th positive zero of
 581 the Bessel function @math{J_\nu(x)}.  The current implementation does not
 582 support negative values of @var{nu}.
 583 @comment Exceptional Return Values:
 584 @end deftypefun
 585