htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/specfunc-coulomb.texi

   1 @cindex Coulomb wave functions
   2 @cindex hydrogen atom
   3
   4 The prototypes of the Coulomb functions are declared in the header file
   5 @file{gsl_sf_coulomb.h}.  Both bound state and scattering solutions are
   6 available.
   7
   8 @menu
   9 * Normalized Hydrogenic Bound States::
  10 * Coulomb Wave Functions::
  11 * Coulomb Wave Function Normalization Constant::
  12 @end menu
  13
  14 @node Normalized Hydrogenic Bound States
  15 @subsection Normalized Hydrogenic Bound States
  16
  17 @deftypefun double gsl_sf_hydrogenicR_1 (double @var{Z}, double @var{r})
  18 @deftypefunx int gsl_sf_hydrogenicR_1_e (double @var{Z}, double @var{r}, gsl_sf_result * @var{result})
  19 These routines compute the lowest-order normalized hydrogenic bound
  20 state radial wavefunction @c{$R_1 := 2Z \sqrt{Z} \exp(-Z r)$}
  21 @math{R_1 := 2Z \sqrt@{Z@} \exp(-Z r)}.
  22 @end deftypefun
  23
  24 @deftypefun double gsl_sf_hydrogenicR (int @var{n}, int @var{l}, double @var{Z}, double @var{r})
  25 @deftypefunx int gsl_sf_hydrogenicR_e (int @var{n}, int @var{l}, double @var{Z}, double @var{r}, gsl_sf_result * @var{result})
  26 These routines compute the @var{n}-th normalized hydrogenic bound state
  27 radial wavefunction,
  28 @comment
  29 @tex
  30 \beforedisplay
  31 $$
  32 R_n := {2 Z^{3/2} \over n^2}  \left({2Z r \over n}\right)^l  \sqrt{(n-l-1)! \over (n+l)!} \exp(-Z r/n) L^{2l+1}_{n-l-1}(2Z r / n).
  33 $$
  34 \afterdisplay
  35 @end tex
  36 @ifinfo
  37
  38 @example
  39 R_n := 2 (Z^@{3/2@}/n^2) \sqrt@{(n-l-1)!/(n+l)!@} \exp(-Z r/n) (2Zr/n)^l
  40           L^@{2l+1@}_@{n-l-1@}(2Zr/n).
  41 @end example
  42
  43 @end ifinfo
  44 @noindent
  45 where @math{L^a_b(x)} is the generalized Laguerre polynomial (@pxref{Laguerre Functions}).
  46 The normalization is chosen such that the wavefunction @math{\psi} is
  47 given by
  48 @c{$\psi(n,l,r) = R_n Y_{lm}$}
  49 @math{\psi(n,l,r) = R_n Y_@{lm@}}.
  50 @end deftypefun
  51
  52 @node Coulomb Wave Functions
  53 @subsection Coulomb Wave Functions
  54
  55 The Coulomb wave functions @math{F_L(\eta,x)}, @math{G_L(\eta,x)} are
  56 described in Abramowitz & Stegun, Chapter 14.  Because there can be a
  57 large dynamic range of values for these functions, overflows are handled
  58 gracefully.  If an overflow occurs, @code{GSL_EOVRFLW} is signalled and
  59 exponent(s) are returned through the modifiable parameters @var{exp_F},
  60 @var{exp_G}. The full solution can be reconstructed from the following
  61 relations,
  62 @tex
  63 \beforedisplay
  64 $$
  65 \eqalign{
  66   F_L(\eta,x)  &=  fc[k_L] * \exp(exp_F)\cr
  67   G_L(\eta,x)  &=  gc[k_L] * \exp(exp_G)\cr
  68 \cr
  69   F_L'(\eta,x) &= fcp[k_L] * \exp(exp_F)\cr
  70   G_L'(\eta,x) &= gcp[k_L] * \exp(exp_G)
  71 }
  72 $$
  73 \afterdisplay
  74 @end tex
  75 @ifinfo
  76
  77 @example
  78 F_L(eta,x)  =  fc[k_L] * exp(exp_F)
  79 G_L(eta,x)  =  gc[k_L] * exp(exp_G)
  80
  81 F_L'(eta,x) = fcp[k_L] * exp(exp_F)
  82 G_L'(eta,x) = gcp[k_L] * exp(exp_G)
  83 @end example
  84
  85 @end ifinfo
  86 @noindent
  87
  88 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_wave_FG_e (double @var{eta}, double @var{x}, double @var{L_F}, int @var{k}, gsl_sf_result * @var{F}, gsl_sf_result * @var{Fp}, gsl_sf_result * @var{G}, gsl_sf_result * @var{Gp}, double * @var{exp_F}, double * @var{exp_G})
  89 This function computes the Coulomb wave functions @math{F_L(\eta,x)},
  90 @c{$G_{L-k}(\eta,x)$}
  91 @math{G_@{L-k@}(\eta,x)} and their derivatives
  92 @math{F'_L(\eta,x)},
  93 @c{$G'_{L-k}(\eta,x)$}
  94 @math{G'_@{L-k@}(\eta,x)}
  95 with respect to @math{x}.  The parameters are restricted to @math{L,
  96 L-k > -1/2}, @math{x > 0} and integer @math{k}.  Note that @math{L}
  97 itself is not restricted to being an integer. The results are stored in
  98 the parameters @var{F}, @var{G} for the function values and @var{Fp},
  99 @var{Gp} for the derivative values.  If an overflow occurs,
 100 @code{GSL_EOVRFLW} is returned and scaling exponents are stored in
 101 the modifiable parameters @var{exp_F}, @var{exp_G}.
 102 @end deftypefun
 103
 104 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_wave_F_array (double @var{L_min}, int @var{kmax}, double @var{eta}, double @var{x}, double @var{fc_array}[], double * @var{F_exponent})
 105 This function computes the Coulomb wave function @math{F_L(\eta,x)} for
 106 @math{L = Lmin \dots Lmin + kmax}, storing the results in @var{fc_array}.
 107 In the case of overflow the exponent is stored in @var{F_exponent}.
 108 @end deftypefun
 109
 110 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_wave_FG_array (double @var{L_min}, int @var{kmax}, double @var{eta}, double @var{x}, double @var{fc_array}[], double @var{gc_array}[], double * @var{F_exponent}, double * @var{G_exponent})
 111 This function computes the functions @math{F_L(\eta,x)},
 112 @math{G_L(\eta,x)} for @math{L = Lmin \dots Lmin + kmax} storing the
 113 results in @var{fc_array} and @var{gc_array}.  In the case of overflow the
 114 exponents are stored in @var{F_exponent} and @var{G_exponent}.
 115 @end deftypefun
 116
 117 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_wave_FGp_array (double @var{L_min}, int @var{kmax}, double @var{eta}, double @var{x}, double @var{fc_array}[], double @var{fcp_array}[], double @var{gc_array}[], double @var{gcp_array}[], double * @var{F_exponent}, double * @var{G_exponent})
 118 This function computes the functions @math{F_L(\eta,x)},
 119 @math{G_L(\eta,x)} and their derivatives @math{F'_L(\eta,x)},
 120 @math{G'_L(\eta,x)} for @math{L = Lmin \dots Lmin + kmax} storing the
 121 results in @var{fc_array}, @var{gc_array}, @var{fcp_array} and @var{gcp_array}.
 122 In the case of overflow the exponents are stored in @var{F_exponent}
 123 and @var{G_exponent}.
 124 @end deftypefun
 125
 126 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_wave_sphF_array (double @var{L_min}, int @var{kmax}, double @var{eta}, double @var{x}, double @var{fc_array}[], double @var{F_exponent}[])
 127 This function computes the Coulomb wave function divided by the argument
 128 @math{F_L(\eta, x)/x} for @math{L = Lmin \dots Lmin + kmax}, storing the
 129 results in @var{fc_array}.  In the case of overflow the exponent is
 130 stored in @var{F_exponent}. This function reduces to spherical Bessel
 131 functions in the limit @math{\eta \to 0}.
 132 @end deftypefun
 133
 134 @node Coulomb Wave Function Normalization Constant
 135 @subsection Coulomb Wave Function Normalization Constant
 136
 137 The Coulomb wave function normalization constant is defined in
 138 Abramowitz 14.1.7.
 139
 140 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_CL_e (double @var{L}, double @var{eta}, gsl_sf_result * @var{result})
 141 This function computes the Coulomb wave function normalization constant
 142 @math{C_L(\eta)} for @math{L > -1}.
 143 @end deftypefun
 144
 145 @deftypefun int gsl_sf_coulomb_CL_array (double @var{Lmin}, int @var{kmax}, double @var{eta}, double @var{cl}[])
 146 This function computes the Coulomb wave function normalization constant
 147 @math{C_L(\eta)} for @math{L = Lmin \dots Lmin + kmax}, @math{Lmin > -1}.
 148 @end deftypefun
 149
 150
 151