htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/specfunc-ellint.texi

   1 @cindex elliptic integrals
   2
   3 The functions described in this section are declared in the header
   4 file @file{gsl_sf_ellint.h}.  Further information about the elliptic
   5 integrals can be found in Abramowitz & Stegun, Chapter 17.
   6
   7 @menu
   8 * Definition of Legendre Forms::
   9 * Definition of Carlson Forms::
  10 * Legendre Form of Complete Elliptic Integrals::
  11 * Legendre Form of Incomplete Elliptic Integrals::
  12 * Carlson Forms::
  13 @end menu
  14
  15 @node Definition of Legendre Forms
  16 @subsection Definition of Legendre Forms
  17 @cindex Legendre forms of elliptic integrals
  18 The Legendre forms of elliptic integrals @math{F(\phi,k)},
  19 @math{E(\phi,k)} and @math{\Pi(\phi,k,n)} are defined by,
  20 @tex
  21 \beforedisplay
  22 $$
  23 \eqalign{
  24 F(\phi,k)   &= \int_0^\phi dt {1 \over \sqrt{(1 - k^2 \sin^2(t))}}\cr
  25 E(\phi,k)   &= \int_0^\phi dt   \sqrt{(1 - k^2 \sin^2(t))}\cr
  26 \Pi(\phi,k,n) &= \int_0^\phi dt {1 \over (1 + n \sin^2(t)) \sqrt{1 - k^2 \sin^2(t)}}
  27 }
  28 $$
  29 \afterdisplay
  30 @end tex
  31 @ifinfo
  32
  33 @example
  34   F(\phi,k) = \int_0^\phi dt 1/\sqrt((1 - k^2 \sin^2(t)))
  35
  36   E(\phi,k) = \int_0^\phi dt   \sqrt((1 - k^2 \sin^2(t)))
  37
  38 Pi(\phi,k,n) = \int_0^\phi dt 1/((1 + n \sin^2(t))\sqrt(1 - k^2 \sin^2(t)))
  39 @end example
  40
  41 @end ifinfo
  42 @noindent
  43 The complete Legendre forms are denoted by @math{K(k) = F(\pi/2, k)} and
  44 @math{E(k) = E(\pi/2, k)}.
  45
  46 The notation used here is based on Carlson, @cite{Numerische
  47 Mathematik} 33 (1979) 1 and differs slightly from that used by
  48 Abramowitz & Stegun, where the functions are given in terms of the
  49 parameter @math{m = k^2} and @math{n} is replaced by @math{-n}.
  50
  51 @node Definition of Carlson Forms
  52 @subsection Definition of Carlson Forms
  53 @cindex Carlson forms of Elliptic integrals
  54 The Carlson symmetric forms of elliptical integrals @math{RC(x,y)},
  55 @math{RD(x,y,z)}, @math{RF(x,y,z)} and @math{RJ(x,y,z,p)} are defined
  56 by,
  57 @tex
  58 \beforedisplay
  59 $$
  60 \eqalign{
  61 RC(x,y)   &= 1/2 \int_0^\infty dt (t+x)^{-1/2} (t+y)^{-1}\cr
  62 RD(x,y,z) &= 3/2 \int_0^\infty dt (t+x)^{-1/2} (t+y)^{-1/2} (t+z)^{-3/2}\cr
  63 RF(x,y,z) &= 1/2 \int_0^\infty dt (t+x)^{-1/2} (t+y)^{-1/2} (t+z)^{-1/2}\cr
  64 RJ(x,y,z,p) &= 3/2 \int_0^\infty dt (t+x)^{-1/2} (t+y)^{-1/2} (t+z)^{-1/2} (t+p)^{-1}
  65 }
  66 $$
  67 \afterdisplay
  68 @end tex
  69 @ifinfo
  70
  71 @example
  72     RC(x,y) = 1/2 \int_0^\infty dt (t+x)^(-1/2) (t+y)^(-1)
  73
  74   RD(x,y,z) = 3/2 \int_0^\infty dt (t+x)^(-1/2) (t+y)^(-1/2) (t+z)^(-3/2)
  75
  76   RF(x,y,z) = 1/2 \int_0^\infty dt (t+x)^(-1/2) (t+y)^(-1/2) (t+z)^(-1/2)
  77
  78 RJ(x,y,z,p) = 3/2 \int_0^\infty dt
  79                  (t+x)^(-1/2) (t+y)^(-1/2) (t+z)^(-1/2) (t+p)^(-1)
  80 @end example
  81 @end ifinfo
  82
  83 @node Legendre Form of Complete Elliptic Integrals
  84 @subsection Legendre Form of Complete Elliptic Integrals
  85
  86 @deftypefun double gsl_sf_ellint_Kcomp (double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode})
  87 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_Kcomp_e (double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
  88 These routines compute the complete elliptic integral @math{K(k)} to
  89 the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
  90 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
  91 parameter @math{m = k^2}.
  92 @comment Exceptional Return Values:  GSL_EDOM
  93 @end deftypefun
  94
  95 @deftypefun double gsl_sf_ellint_Ecomp (double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode})
  96 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_Ecomp_e (double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
  97 These routines compute the complete elliptic integral @math{E(k)} to the
  98 accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
  99 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
 100 parameter @math{m = k^2}.
 101 @comment Exceptional Return Values:  GSL_EDOM
 102 @end deftypefun
 103
 104 @deftypefun double gsl_sf_ellint_Pcomp (double @var{k}, double @var{n}, gsl_mode_t @var{mode})
 105 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_Pcomp_e (double @var{k}, double @var{n},  gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 106 These routines compute the complete elliptic integral @math{\Pi(k,n)} to the
 107 accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 108 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
 109 parameters @math{m = k^2} and @math{\sin^2(\alpha) = k^2}, with the
 110 change of sign @math{n \to -n}.
 111 @comment Exceptional Return Values:  GSL_EDOM
 112 @end deftypefun
 113
 114 @node Legendre Form of Incomplete Elliptic Integrals
 115 @subsection Legendre Form of Incomplete Elliptic Integrals
 116
 117 @deftypefun double gsl_sf_ellint_F (double @var{phi}, double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode})
 118 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_F_e (double @var{phi}, double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 119 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{F(\phi,k)}
 120 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 121 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
 122 parameter @math{m = k^2}.
 123 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 124 @end deftypefun
 125
 126 @deftypefun double gsl_sf_ellint_E (double @var{phi}, double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode})
 127 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_E_e (double @var{phi}, double @var{k}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 128 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{E(\phi,k)}
 129 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 130 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
 131 parameter @math{m = k^2}.
 132 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 133 @end deftypefun
 134
 135 @deftypefun double gsl_sf_ellint_P (double @var{phi}, double @var{k}, double @var{n}, gsl_mode_t @var{mode})
 136 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_P_e (double @var{phi}, double @var{k}, double @var{n}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 137 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{\Pi(\phi,k,n)}
 138 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 139 Note that Abramowitz & Stegun define this function in terms of the
 140 parameters @math{m = k^2} and @math{\sin^2(\alpha) = k^2}, with the
 141 change of sign @math{n \to -n}.
 142 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 143 @end deftypefun
 144
 145 @deftypefun double gsl_sf_ellint_D (double @var{phi}, double @var{k}, double @var{n}, gsl_mode_t @var{mode})
 146 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_D_e (double @var{phi}, double @var{k}, double @var{n}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 147 These functions compute the incomplete elliptic integral
 148 @math{D(\phi,k)} which is defined through the Carlson form @math{RD(x,y,z)}
 149 by the following relation,
 150 @tex
 151 \beforedisplay
 152 $$
 153 D(\phi,k,n) = {1 \over 3} (\sin \phi)^3 RD (1-\sin^2(\phi), 1-k^2 \sin^2(\phi), 1).
 154 $$
 155 \afterdisplay
 156 @end tex
 157 @ifinfo
 158
 159 @example
 160 D(\phi,k,n) = (1/3)(\sin(\phi))^3 RD (1-\sin^2(\phi), 1-k^2 \sin^2(\phi), 1).
 161 @end example
 162 @end ifinfo
 163 The argument @var{n} is not used and will be removed in a future release.
 164
 165 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 166 @end deftypefun
 167
 168
 169 @node Carlson Forms
 170 @subsection Carlson Forms
 171
 172 @deftypefun double gsl_sf_ellint_RC (double @var{x}, double @var{y}, gsl_mode_t @var{mode})
 173 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_RC_e (double @var{x}, double @var{y}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 174 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{RC(x,y)}
 175 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 176 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 177 @end deftypefun
 178
 179 @deftypefun double gsl_sf_ellint_RD (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, gsl_mode_t @var{mode})
 180 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_RD_e (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 181 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{RD(x,y,z)}
 182 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 183 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 184 @end deftypefun
 185
 186 @deftypefun double gsl_sf_ellint_RF (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, gsl_mode_t @var{mode})
 187 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_RF_e (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 188 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{RF(x,y,z)}
 189 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 190 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 191 @end deftypefun
 192
 193 @deftypefun double gsl_sf_ellint_RJ (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, double @var{p}, gsl_mode_t @var{mode})
 194 @deftypefunx int gsl_sf_ellint_RJ_e (double @var{x}, double @var{y}, double @var{z}, double @var{p}, gsl_mode_t @var{mode}, gsl_sf_result * @var{result})
 195 These routines compute the incomplete elliptic integral @math{RJ(x,y,z,p)}
 196 to the accuracy specified by the mode variable @var{mode}.
 197 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM
 198 @end deftypefun