htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/specfunc-mathieu.texi

   1 @cindex Mathieu functions
   2
   3 The routines described in this section compute the angular and radial
   4 Mathieu functions, and their characteristic values.  Mathieu
   5 functions are the solutions of the following two differential
   6 equations:
   7 @tex
   8 \beforedisplay
   9 $$
  10 \eqalign{
  11 {{d^2 y}\over{d v^2}}& + (a - 2q\cos 2v)y  = 0, \cr
  12 {{d^2 f}\over{d u^2}}& - (a - 2q\cosh 2u)f  = 0.
  13 }
  14 $$
  15 \afterdisplay
  16 @end tex
  17 @ifinfo
  18
  19 @example
  20 d^2y/dv^2 + (a - 2q\cos 2v)y = 0
  21 d^2f/du^2 - (a - 2q\cosh 2u)f = 0
  22 @end example
  23
  24 @end ifinfo
  25 @noindent
  26 The angular Mathieu functions @math{ce_r(x,q)}, @math{se_r(x,q)} are
  27 the even and odd periodic solutions of the first equation, which is known as Mathieu's equation. These exist
  28 only for the discrete sequence of  characteristic values @math{a=a_r(q)}
  29 (even-periodic) and @math{a=b_r(q)} (odd-periodic).
  30
  31 The radial Mathieu functions @c{$Mc^{(j)}_{r}(z,q)$}
  32 @math{Mc^@{(j)@}_@{r@}(z,q)}, @c{$Ms^{(j)}_@{r@}(z,q)$}
  33 @math{Ms^@{(j)@}_@{r@}(z,q)} are the solutions of the second equation,
  34 which is referred to as Mathieu's modified equation.  The
  35 radial Mathieu functions of the first, second, third and fourth kind
  36 are denoted by the parameter @math{j}, which takes the value 1, 2, 3
  37 or 4.
  38
  39 @comment The angular Mathieu functions can be divided into four types as
  40 @comment @tex
  41 @comment \beforedisplay
  42 @comment $$
  43 @comment \eqalign{
  44 @comment x & = \sum_{m=0}^\infty A_{2m+p} \cos(2m+p)\phi, \quad p = 0, 1, \cr
  45 @comment x & = \sum_{m=0}^\infty B_{2m+p} \sin(2m+p)\phi, \quad p = 0, 1.
  46 @comment }
  47 @comment $$
  48 @comment \afterdisplay
  49 @comment @end tex
  50 @comment @ifinfo
  51
  52 @comment @example
  53 @comment x = \sum_(m=0)^\infty A_(2m+p) \cos(2m+p)\phi,   p = 0, 1,
  54 @comment x = \sum_(m=0)^\infty B_(2m+p) \sin(2m+p)\phi,   p = 0, 1.
  55 @comment @end example
  56
  57 @comment @end ifinfo
  58 @comment @noindent
  59 @comment The nomenclature used for the angular Mathieu functions is @math{ce_n}
  60 @comment for the first solution and @math{se_n} for the second.
  61
  62 @comment Similar solutions exist for the radial Mathieu functions by replacing
  63 @comment the trigonometric functions with their corresponding hyperbolic
  64 @comment functions as shown below.
  65 @comment @tex
  66 @comment \beforedisplay
  67 @comment $$
  68 @comment \eqalign{
  69 @comment x & = \sum_{m=0}^\infty A_{2m+p} \cosh(2m+p)u, \quad p = 0, 1, \cr
  70 @comment x & = \sum_{m=0}^\infty B_{2m+p} \sinh(2m+p)u, \quad p = 0, 1.
  71 @comment }
  72 @comment $$
  73 @comment \afterdisplay
  74 @comment @end tex
  75 @comment @ifinfo
  76
  77 @comment @example
  78 @comment x = \sum_(m=0)^\infty A_(2m+p) \cosh(2m+p)u,   p = 0, 1,
  79 @comment x = \sum_(m=0)^\infty B_(2m+p) \sinh(2m+p)u,   p = 0, 1.
  80 @comment @end example
  81
  82 @comment @end ifinfo
  83 @comment @noindent
  84 @comment The nomenclature used for the radial Mathieu functions is @math{Mc_n}
  85 @comment for the first solution and @math{Ms_n} for the second.  The hyperbolic
  86 @comment series do not always converge at an acceptable rate.  Therefore most
  87 @comment texts on the subject suggest using the following equivalent equations
  88 @comment that are expanded in series of Bessel and Hankel functions.
  89 @comment @tex
  90 @comment \beforedisplay
  91 @comment $$
  92 @comment \eqalign{
  93 @comment Mc_{2n}^{(j)}(x,q) & = \sum_{m=0}^\infty (-1)^{r+k}
  94 @comment       A_{2m}^{2n}(q)\left[J_m(u_1)Z_m^{(j)}(u_2) +
  95 @comment                           J_m(u_1)Z_m^{(j)}(u_2)\right]/A_2^{2n} \cr
  96 @comment Mc_{2n+1}^{(j)}(x,q) & = \sum_{m=0}^\infty (-1)^{r+k}
  97 @comment       A_{2m+1}^{2n+1}(q)\left[J_m(u_1)Z_{m+1}^{(j)}(u_2) +
  98 @comment                               J_{m+1}(u_1)Z_m^{(j)}(u_2)\right]/A_1^{2n+1} \cr
  99 @comment Ms_{2n}^{(j)}(x,q) & = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{r+k}
 100 @comment       B_{2m}^{2n}(q)\left[J_{m-1}(u_1)Z_{m+1}^{(j)}(u_2) +
 101 @comment                           J_{m+1}(u_1)Z_{m-1}^{(j)}(u_2)\right]/B_2^{2n} \cr
 102 @comment Ms_{2n+1}^{(j)}(x,q) & = \sum_{m=0}^\infty (-1)^{r+k}
 103 @comment       B_{2m+1}^{2n+1}(q)\left[J_m(u_1)Z_{m+1}^{(j)}(u_2) +
 104 @comment                               J_{m+1}(u_1)Z_m^{(j)}(u_2)\right]/B_1^{2n+1}
 105 @comment }
 106 @comment $$
 107 @comment \afterdisplay
 108 @comment @end tex
 109 @comment @ifinfo
 110
 111 @comment @example
 112 @comment Mc_(2n)^(j)(x,q) = \sum_(m=0)^\infty (-1)^(r+k) A_(2m)^(2n)(q)
 113 @comment     [J_m(u_1)Z_m^(j)(u_2) + J_m(u_1)Z_m^(j)(u_2)]/A_2^(2n)
 114 @comment Mc_(2n+1)^(j)(x,q) = \sum_(m=0)^\infty (-1)^(r+k) A_(2m+1)^(2n+1)(q)
 115 @comment     [J_m(u_1)Z_(m+1)^(j)(u_2) + J_(m+1)(u_1)Z_m^(j)(u_2)]/A_1^(2n+1)
 116 @comment Ms_(2n)^(j)(x,q) = \sum_(m=1)^\infty (-1)^(r+k) B_(2m)^(2n)(q)
 117 @comment     [J_(m-1)(u_1)Z_(m+1)^(j)(u_2) + J_(m+1)(u_1)Z_(m-1)^(j)(u_2)]/B_2^(2n)
 118 @comment Ms_(2n+1)^(j)(x,q) = \sum_(m=0)^\infty (-1)^(r+k) B_(2m+1)^(2n+1)(q)
 119 @comment     [J_m(u_1)Z_(m+1)^(j)(u_2) + J_(m+1)(u_1)Z_m^(j)(u_2)]/B_1^(2n+1)
 120 @comment @end example
 121
 122 @comment @end ifinfo
 123 @comment @noindent
 124 @comment where @c{$u_1 = \sqrt{q} \exp(-x)$}
 125 @comment @math{u_1 = \sqrt@{q@} \exp(-x)} and @c{$u_2 = \sqrt@{q@} \exp(x)$}
 126 @comment @math{u_2 = \sqrt@{q@} \exp(x)} and
 127 @comment @tex
 128 @comment \beforedisplay
 129 @comment $$
 130 @comment \eqalign{
 131 @comment Z_m^{(1)}(u) & = J_m(u) \cr
 132 @comment Z_m^{(2)}(u) & = Y_m(u) \cr
 133 @comment Z_m^{(3)}(u) & = H_m^{(1)}(u) \cr
 134 @comment Z_m^{(4)}(u) & = H_m^{(2)}(u)
 135 @comment }
 136 @comment $$
 137 @comment \afterdisplay
 138 @comment @end tex
 139 @comment @ifinfo
 140
 141 @comment @example
 142 @comment Z_m^(1)(u) = J_m(u)
 143 @comment Z_m^(2)(u) = Y_m(u)
 144 @comment Z_m^(3)(u) = H_m^(1)(u)
 145 @comment Z_m^(4)(u) = H_m^(2)(u)
 146 @comment @end example
 147
 148 @comment @end ifinfo
 149 @comment @noindent
 150 @comment where @math{J_m(u)}, @math{Y_m(u)}, @math{H_m^{(1)}(u)}, and
 151 @comment @math{H_m^{(2)}(u)} are the regular and irregular Bessel functions and
 152 @comment the Hankel functions, respectively.
 153
 154 For more information on the Mathieu functions, see Abramowitz and
 155 Stegun, Chapter 20.  These functions are defined in the header file
 156 @file{gsl_sf_mathieu.h}.
 157
 158 @menu
 159 * Mathieu Function Workspace::
 160 * Mathieu Function Characteristic Values::
 161 * Angular Mathieu Functions::
 162 * Radial Mathieu Functions::
 163 @end menu
 164
 165 @node  Mathieu Function Workspace
 166 @subsection  Mathieu Function Workspace
 167
 168 The Mathieu functions can be computed for a single order or
 169 for multiple orders, using array-based routines.  The array-based
 170 routines require a preallocated workspace.
 171
 172 @deftypefun {gsl_sf_mathieu_workspace *} gsl_sf_mathieu_alloc (size_t @var{n}, double @var{qmax})
 173 This function returns a workspace for the array versions of the
 174 Mathieu routines.  The arguments @var{n} and @var{qmax} specify the
 175 maximum order and @math{q}-value of Mathieu functions which can be
 176 computed with this workspace.
 177
 178 @comment This is required in order to properly
 179 @comment terminate the infinite eigenvalue matrix for high precision solutions.
 180 @comment The characteristic values for all orders @math{0 \to n} are stored in
 181 @comment the work structure array element @kbd{work->char_value}.
 182 @end deftypefun
 183
 184 @deftypefun void gsl_sf_mathieu_free (gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work})
 185 This function frees the workspace @var{work}.
 186 @end deftypefun
 187
 188 @node Mathieu Function Characteristic Values
 189 @subsection Mathieu Function Characteristic Values
 190 @cindex Mathieu Function Characteristic Values
 191
 192 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_a (int @var{n}, double @var{q}, gsl_sf_result @var{*result})
 193 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_b (int @var{n}, double @var{q}, gsl_sf_result @var{*result})
 194 These routines compute the characteristic values @math{a_n(q)},
 195 @math{b_n(q)} of the Mathieu functions @math{ce_n(q,x)} and
 196 @math{se_n(q,x)}, respectively.
 197 @end deftypefun
 198
 199 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_a_array (int @var{order_min}, int @var{order_max}, double @var{q}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 200 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_b_array (int @var{order_min}, int @var{order_max}, double @var{q}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 201 These routines compute a series of Mathieu characteristic values
 202 @math{a_n(q)}, @math{b_n(q)} for @math{n} from @var{order_min} to
 203 @var{order_max} inclusive, storing the results in the array @var{result_array}.
 204 @end deftypefun
 205
 206 @node Angular Mathieu Functions
 207 @subsection Angular Mathieu Functions
 208 @cindex Angular Mathieu Functions
 209 @cindex @math{ce(q,x)}, Mathieu function
 210 @cindex @math{se(q,x)}, Mathieu function
 211
 212 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_ce (int @var{n}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_result @var{*result})
 213 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_se (int @var{n}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_result @var{*result})
 214 These routines compute the angular Mathieu functions @math{ce_n(q,x)}
 215 and @math{se_n(q,x)}, respectively.
 216 @end deftypefun
 217
 218 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_ce_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 219 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_se_array (int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 220 These routines compute a series of the angular Mathieu functions
 221 @math{ce_n(q,x)} and @math{se_n(q,x)} of order @math{n} from
 222 @var{nmin} to @var{nmax} inclusive, storing the results in the array
 223 @var{result_array}.
 224 @end deftypefun
 225
 226 @node Radial Mathieu Functions
 227 @subsection Radial Mathieu Functions
 228 @cindex Radial Mathieu Functions
 229
 230 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_Mc (int @var{j}, int @var{n}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_result @var{*result})
 231 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_Ms (int @var{j}, int @var{n}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_result @var{*result})
 232 These routines compute the radial @var{j}-th kind Mathieu functions
 233 @c{$Mc_n^{(j)}(q,x)$}
 234 @math{Mc_n^@{(j)@}(q,x)} and
 235 @c{$Ms_n^{(j)}(q,x)$}
 236 @math{Ms_n^@{(j)@}(q,x)} of order @var{n}.
 237
 238 The allowed values of @var{j} are 1 and 2.
 239 The functions for @math{j = 3,4} can be computed as
 240 @c{$M_n^{(3)} = M_n^{(1)} + iM_n^{(2)}$}
 241 @math{M_n^@{(3)@} = M_n^@{(1)@} + iM_n^@{(2)@}} and
 242 @c{$M_n^{(4)} = M_n^{(1)} - iM_n^{(2)}$}
 243 @math{M_n^@{(4)@} = M_n^@{(1)@} - iM_n^@{(2)@}},
 244 where
 245 @c{$M_n^{(j)} = Mc_n^{(j)}$}
 246 @math{M_n^@{(j)@} = Mc_n^@{(j)@}} or
 247 @c{$Ms_n^{(j)}$}
 248 @math{Ms_n^@{(j)@}}.
 249 @end deftypefun
 250
 251 @deftypefun int gsl_sf_mathieu_Mc_array (int @var{j}, int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 252 @deftypefunx int gsl_sf_mathieu_Ms_array (int @var{j}, int @var{nmin}, int @var{nmax}, double @var{q}, double @var{x}, gsl_sf_mathieu_workspace @var{*work}, double @var{result_array}[])
 253 These routines compute a series of the radial Mathieu functions of
 254 kind @var{j}, with order from @var{nmin} to @var{nmax} inclusive, storing the
 255 results in the array @var{result_array}.
 256 @end deftypefun
 257