htswanalysis/MACS/lib/gsl/gsl-1.11/doc/specfunc-zeta.texi

   1 @cindex Zeta functions
   2
   3 The Riemann zeta function is defined in Abramowitz & Stegun, Section
   4 23.2.  The functions described in this section are declared in the
   5 header file @file{gsl_sf_zeta.h}.
   6
   7 @menu
   8 * Riemann Zeta Function::
   9 * Riemann Zeta Function Minus One::
  10 * Hurwitz Zeta Function::
  11 * Eta Function::
  12 @end menu
  13
  14 @node Riemann Zeta Function
  15 @subsection Riemann Zeta Function
  16
  17 The Riemann zeta function is defined by the infinite sum
  18 @c{$\zeta(s) = \sum_{k=1}^\infty k^{-s}$}
  19 @math{\zeta(s) = \sum_@{k=1@}^\infty k^@{-s@}}.
  20
  21 @deftypefun double gsl_sf_zeta_int (int @var{n})
  22 @deftypefunx int gsl_sf_zeta_int_e (int @var{n}, gsl_sf_result * @var{result})
  23 These routines compute the Riemann zeta function @math{\zeta(n)}
  24 for integer @var{n},
  25 @math{n \ne 1}.
  26 @comment Domain: n integer, n != 1
  27 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW
  28 @end deftypefun
  29
  30 @deftypefun double gsl_sf_zeta (double @var{s})
  31 @deftypefunx int gsl_sf_zeta_e (double @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
  32 These routines compute the Riemann zeta function @math{\zeta(s)}
  33 for arbitrary @var{s},
  34 @math{s \ne 1}.
  35 @comment Domain: s != 1.0
  36 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW
  37 @end deftypefun
  38
  39
  40 @node Riemann Zeta Function Minus One
  41 @subsection Riemann Zeta Function Minus One
  42
  43 For large positive argument, the Riemann zeta function approaches one.
  44 In this region the fractional part is interesting, and therefore we
  45 need a function to evaluate it explicitly.
  46
  47 @deftypefun double gsl_sf_zetam1_int (int @var{n})
  48 @deftypefunx int gsl_sf_zetam1_int_e (int @var{n}, gsl_sf_result * @var{result})
  49 These routines compute @math{\zeta(n) - 1} for integer @var{n},
  50 @math{n \ne 1}.
  51 @comment Domain: n integer, n != 1
  52 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW
  53 @end deftypefun
  54
  55 @deftypefun double gsl_sf_zetam1 (double @var{s})
  56 @deftypefunx int gsl_sf_zetam1_e (double @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
  57 These routines compute @math{\zeta(s) - 1} for arbitrary @var{s},
  58 @math{s \ne 1}.
  59 @comment Domain: s != 1.0
  60 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EOVRFLW
  61 @end deftypefun
  62
  63
  64 @node Hurwitz Zeta Function
  65 @subsection Hurwitz Zeta Function
  66
  67 The Hurwitz zeta function is defined by
  68 @c{$\zeta(s,q) = \sum_0^\infty (k+q)^{-s}$}
  69 @math{\zeta(s,q) = \sum_0^\infty (k+q)^@{-s@}}.
  70
  71 @deftypefun double gsl_sf_hzeta (double @var{s}, double @var{q})
  72 @deftypefunx int gsl_sf_hzeta_e (double @var{s}, double @var{q}, gsl_sf_result * @var{result})
  73 These routines compute the Hurwitz zeta function @math{\zeta(s,q)} for
  74 @math{s > 1}, @math{q > 0}.
  75 @comment Domain: s > 1.0, q > 0.0
  76 @comment Exceptional Return Values: GSL_EDOM, GSL_EUNDRFLW, GSL_EOVRFLW
  77 @end deftypefun
  78
  79
  80 @node Eta Function
  81 @subsection Eta Function
  82
  83 The eta function is defined by
  84 @c{$\eta(s) = (1-2^{1-s}) \zeta(s)$}
  85 @math{\eta(s) = (1-2^@{1-s@}) \zeta(s)}.
  86
  87 @deftypefun double gsl_sf_eta_int (int @var{n})
  88 @deftypefunx int gsl_sf_eta_int_e (int @var{n}, gsl_sf_result * @var{result})
  89 These routines compute the eta function @math{\eta(n)} for integer @var{n}.
  90 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW, GSL_EOVRFLW
  91 @end deftypefun
  92
  93 @deftypefun double gsl_sf_eta (double @var{s})
  94 @deftypefunx int gsl_sf_eta_e (double @var{s}, gsl_sf_result * @var{result})
  95 These routines compute the eta function @math{\eta(s)} for arbitrary @var{s}.
  96 @comment Exceptional Return Values: GSL_EUNDRFLW, GSL_EOVRFLW
  97 @end deftypefun
  98